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方差

方差  方差和标准差:
  英文:variation and standard deviation
  右图为计算公式 Variance's formula
  注:此公式在某些文献定义中分母为n-1。如,在MATLAB中使用求方差函数var时,
  var(x,1)表示除N,而var(x,0)<=>var(x)表示除n-1 公卫百科
  样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差;样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量,样本方差或样本标准差越大,样本数据的波动就越大。
  数学上一般用E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)即期望的偏离程度,称为X的方差。
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  定义
  设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]^2}存在,则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差,记为D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2},而σ(X)=D(X)^0.5(与X有相同的量纲)称为标准差或均方差。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
  由方差的定义可以得到以下常用计算公式: 公卫家园
  D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
  S^2=[(x1-x拔)^2+(x2-x拔)^2+(x3-x拔)^2+…+(xn-x拔)^2]/n
  方差的几个重要性质(设一下各个方差均存在)。
  (1)设c是常数,则D(c)=0。
  (2)设X是随机变量,c是常数,则有D(cX)=(c^2)D(X)。
  (3)设X,Y是两个相互独立的随机变量,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。
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  (4)D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c,即P{X=c}=1,其中E(X)=c。
  方差是标准差的平方
  ————————————————
  方差和标准差。方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是各变量值与其均值离差平方的平均数,它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。标准差为方差的平方根,用S表示。标准差相应的计算公式为 公卫家园
  
  标准差与方差不同的是,标准差和变量的计算单位相同,比方差清楚,因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。
  (甘肃省,2002年)某校初三年级甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛,两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数,经统计和计算后结果如下表所示: 公卫人
  班级 参加人数 平均字数 中位数 方差
甲 55 135 149 191
乙 55 135 151 110

  有一位同学根据上表得出如下结论:
  ①甲、乙两班学生的平均水平相同;
  ②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多(每分钟输入汉字达150个以上为优秀);
  ③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大.上述结论正确的是________(填序号).
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  解:填①、②、③,显然①、③是正确的是.对于第②个结论,因为甲的中位数为149,表明甲班优秀人数未过半,而乙的中位数为151,表明乙班优秀人数在半数以上,故乙班优秀的人数比甲班优秀人数多,∴ ②正确.

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