偏序关系

设R是非空集合A上的一个二元关系，若R满足：

自反性：forall x in A,~~(x, x) in R

反对称性：forall x, y in A,~~((x, y) in R wedge (y, x) in R)~~ implies ~~ x = y

传递性：forall x, y, z in A, Mao((x, y) in R wedge (y, z) in R)~~implies~~(x, z) in R

则称R为A上的偏序关系，通常记作\leq。

注意这里的\leq并不是一般意义上的“小于等于”，而是表示在偏序关系中的顺序性。x \leq y的含义是：依照这个序，x排在y前面或x就是y。根据不同的偏序关系的定义，对序有着不同的解释。例如整除关系是一个定义在整数集合上的一个偏序关系\leq，3 \leq 6的含义是3整除6。大于或等于也是定义在整数集合上的一个偏序关系，针对这个关系写5 \leq 4是指在大于或等于关系中，5排在4的前面。

对于上述提到的自反性和传递性的举例解释:

集合A{a,b,c...}上的关系R是自反 指的是R有(a,a),(b,b),(c,c)...

R是传递指若有(a,b)和(b,c), 则必有(a,c).

偏序（Partial Order）

设A是一个非空集，P是A上的一个关系，若P满足下列条件：

1、对任意的a∈A，（a,a）∈P;(自反性 reflexlve）

2、若（a,b）∈P，且（b,a）∈P，则 a=b;（反对称性 anti-symmentric）

3、若（a,b）∈P，（b,c）∈P，则（a,c）∈P;（传递性 transitive）

则称P是A上的一个偏序关系。

若P是A上的一个偏序关系，我们用a≤b来表示（a,b）∈P。