方差

方差　　方差和标准差：
　　英文：variation and standard deviation
　　右图为计算公式 Variance's formula
　　注：此公式在某些文献定义中分母为n-1。如，在MATLAB中使用求方差函数var时，
　　var（x，1）表示除N，而var（x，0）<=>var(x)表示除n-1

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　　样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
　　数学上一般用E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)即期望的偏离程度，称为X的方差。

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　　定义
　　设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}，而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准差或均方差。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
　　由方差的定义可以得到以下常用计算公式：

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　　D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
　　S^2=[(x1-x拔)^2+（x2-x拔)^2+(x3-x拔)^2+…+(xn-x拔)^2]/n
　　方差的几个重要性质（设一下各个方差均存在）。
　　（1）设c是常数，则D(c)=0。
　　（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c^2)D(X)。
　　（3）设X，Y是两个相互独立的随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 公卫考场
　　（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。
　　方差是标准差的平方
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　　方差和标准差。方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。标准差为方差的平方根，用S表示。标准差相应的计算公式为
　　
　　标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。
　　（甘肃省，2002年）某校初三年级甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数，经统计和计算后结果如下表所示：

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　　班级 参加人数 平均字数 中位数 方差
甲 55 135 149 191
乙 55 135 151 110

　　有一位同学根据上表得出如下结论：
　　①甲、乙两班学生的平均水平相同；
　　②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）；
　　③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大．上述结论正确的是________（填序号）．

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　　解：填①、②、③，显然①、③是正确的是．对于第②个结论，因为甲的中位数为149，表明甲班优秀人数未过半，而乙的中位数为151，表明乙班优秀人数在半数以上，故乙班优秀的人数比甲班优秀人数多，∴ ②正确．